Đề bài

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Phương pháp giải

Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và  }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)

 Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)

\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).