Đề bài

Tìm

a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)

b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)

c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).

Phương pháp giải

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.

c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):

\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân:

\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx =  - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)

b)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx =  - {e^{ - x}} + C\)

Kết quả:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx =  - {e^{ - x}} + C\)

c)

Ta có:

\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)