Đề bài

a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Phương pháp giải

a)

- Xét đạo hàm của các hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.

b)

- Xét đạo hàm của \(F(x) = \ln x\) để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)

- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Ta có các hàm số:

\({F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2\)

 Tính đạo hàm của các hàm số này:

\(F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x\)

 Như vậy, cả ba hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).

b)

Xét hàm số \(F(x) = \ln x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

 Do đó, \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm \(F(x)\). Cụ thể:

\({F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}\)

 Với \({C_1}\) và \({C_2}\) là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:

\({F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2\)