Đề bài

Bảng 3.13 là mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 40 nhân viên công ty M mà anh Bình có:

a) Hãy ước tính lương trung bình \({\overline X _M}\) của 40 nhân viên.

b) Điều anh Bình quan tâm là độ lệch trung bình giữa lương của mỗi nhân viên so với lương trung bình \({\overline X _M}\). Anh Bình có thể ước lượng độ lệch giữa lương của những nhân viên thuộc nhóm thứ nhất (nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng) so với số trung bình qua giá trị nào?

c) Dựa vào công thức tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm và hai công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm, hãy đề xuất một cách ước tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc mà anh Bình không có (bảng lương của từng người).

Phương pháp giải

a) Công thức tính điểm trung bình

\({\bar X_M} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\), trong đó:

- \({x_i}\) là giá trị đại diện của khoảng lương thứ \(i\).

- \({n_i}\) là tần số của khoảng lương thứ \(i\).

- \(N\) là tổng số nhân viên.

b) Sử dụng giá trị trung bình của nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng.

Công thức:

\(\Delta  = \left| {{x_{[3;5)}} - {{\overline X }_M}} \right|\)

c)

- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:

\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}}  - \overline x {)^2}\)

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

\(S = \sqrt {{S^2}} \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tính lương trung bình \({\overline X _M}\):

\(\begin{array}{l}[3;5):\frac{{3 + 5}}{2} = 4;\\(5;7):\frac{{5 + 7}}{2} = 6{\rm{ }};\\(7;9):\frac{{7 + 9}}{2} = 8{\rm{ }};\\(9;11)\frac{{9 + 11}}{2} = 10{\rm{ }};\\(11;13)\frac{{11 + 13}}{2} = 12{\rm{ }}\end{array}\)

Lương trung bình:

\({\overline X _M} = \frac{{\sum {{x_i}.{n_i}} }}{N} = \frac{{4.4 + 6.6 + 8.17 + 10.12 + 12.1}}{{40}} = 8\)

b) Ước lượng độ lệch trung bình:

Giá trị đại diện của nhóm thứ nhất (3 đến 5 triệu đồng): 4 triệu đồng

Độ lệch giữa lương của nhóm này và lương trung bình là:

\(\Delta  = \left| {{x_{[3;5)}} - {{\overline X }_M}} \right| = \left| {4 - 8} \right| = 4\) triệu đồng

c)

Công thức tính trung bình là

\({\bar X_M} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\)

Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:

\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}}  - \overline x {)^2}\)

Ta biết rằng các giá trị \({x_i}\) nằm trong các nhóm, và mỗi nhóm có trung điểm \({x_j}\) và tần số \({n_j}\). Do đó, ta có thể viết lại tổng trên bằng cách thay thế từng \({x_i}\) trong mỗi nhóm bằng trung điểm \({x_j}\):

\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {({x_i}}  - \overline x {)^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {\sum\limits_{i = 1}^{{n_j}} {{{({x_i} - \overline x )}^2}} }  = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}({x_j}}  - \overline x {)^2}\)

Vậy công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({S^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}({x_j}}  - \overline x {)^2}\)

Và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm vẫn là:

\(S = \sqrt {{S^2}} \).