Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH=12cm, CH=9cm, BH=16cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN

c) Tính diện tích tam giác AMN 

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Pythagore

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

\(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) (định lý Pythagore)

=> \(A{B^2} = {12^2} + {16^2}\)

=> AB=20cm

Tương tự, có: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\) (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC)

=> \(A{C^2} = {12^2} + {9^2}\)

=> AC=15cm

Có BC=9+16=25

Trong tam giác ABC, nhận thấy \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

=> Tam giác ABC vuông tại A

b) Xét tam giác AHB có: 

M là trung điểm của AH

B là trung điểm của BH

=> MN là đường trung bình của tam giác AHB

=> MN // AB

mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A)

=> MN ⊥ AC

Xét \(\Delta ACN\) có \(AH \bot CN\) (gt), \(MN \bot AC\) (cmt), \(AH \cap MN = M\). Vậy M là trực tâm của \(\Delta ACN\), do đó \(CM \bot AN\).

c) Ta có: \({S_{\Delta AMN}} = \frac{{AM.HN}}{2} = \frac{{\frac{{AH}}{2}.\frac{{BH}}{2}}}{2} = \frac{{AH.BH}}{8} = \frac{{12.16}}{8} = 24(c{m^2})\)

Xem thêm : SGK Toán 8 - Kết nối tri thức

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho một tam giác vuông có hai  cạnh góc vuông là \(a\), \(b\) và cạnh huyền là \(c\).

- Lấy một tờ bìa lớn, cắt tám hình tam giác vuông bằng tam giác vuông đã cho và cắt hai hình vuông lớn có cùng có cạnh bằng \(a + b\).

- Đặt bốn tam giác vuông lên hình vuông thứ nhất trong Hình 1a. Phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh lần lượt là \(a\)\(b\). Tính diện tích phần bìa đó là \(a\)\(b\).

- Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên hình vuông thứ hai như trong Hình 1b. Phần bìa không bị che lấp là hình vuông có cạnh là \(c\). Tính diện tích phần bìa đó theo \(c\).

- Rút ra kết luận về quan hệ giữa \({a^2} + {b^2}\)\({c^2}\).

 

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Tính độ dài cạnh \(EF\), \(MN\) của các tam giác vuông  trong hình 3.

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Một chiếc ti vi màn hình phẳng có chiều rộng và chiều dài đo được lần lượt là \(72\)cm và \(120\)cm. Tính độ dài đường chéo của màn hình chiếc ti vi đó theo đơn vị inch (biết 1 inch \( \approx \)\(2,54\)cm).

Xem lời giải >>
Bài 4 :

a) Nam dự định làm một cái êke từ ba thanh nẹp gỗ. Nam đã có hai thanh làm hai cạnh góc vuông dài \(6\)cm và \(8\)cm. Hỏi thanh nẹp còn lại Nam phải làm có độ dài bao nhiêu? (Giả sử các mối nối không đáng kể).

b) Một khung gỗ \(ABCD\) (Hình 6) được tạo thành từ \(5\) thanh nẹp có độ dài như sau: \(AB = CD = 36\)cm; \(BC = AD = 48\)cm; \(AC = 60\)cm. Chứng minh rằng \(\widehat {ABC}\)\(\widehat {ADC}\) là các góc vuông.

 

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

a) Tính độ dài cạnh \(BC\) nếu biết \(AB = 7\)cm, \(AC = 24\)cm.

b) Tính độ dài cạnh \(AB\) biết \(AC = 2\)cm, \(BC = \sqrt {13} \)cm.

c) Tính độ dài cạnh \(AC\) nếu biết \(BC = 25\)cm, \(AB = 15\)cm.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Lần lượt tính độ dài các cạnh huyền \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) của các tam giác vuông trong Hình 12. Hãy dự đoán kết quả của các cạnh huyền còn lại.

 

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Quan sát Hình 1, bạn Đan khẳng định: Diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại.

Bạn Đan đã dựa vào kiến thức nào để đưa ra khẳng định trên?

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Thực hiện các hoạt động sau:

a) Vẽ và cắt giấy để có 4 hình tam giác vuông như nhau với độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c, trong đó a, b, c có cùng đơn vị độ dài (Hình 2)

b) Vẽ hình vuông ABCD có cạnh là b + c như Hình 3. Đặt hình 4 tam giác vuông đã cắt ở câu a lên hình vuông ABCD vừa vẽ, phần chưa bi che đi là hình vuông MNPQ với đọ dài cạnh a (Hình 4)

c) Gọi S1 là diện tích của hình vuông ABCD. Gọi S2 là tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ. So sánh S1 và S2.

d) Dựa vào kết quả ở câu c, dự đoán mỗi liên hệ giữa a2 và b2 + c2.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Tính độ dài đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh là a.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm độ dài cạnh còn lại trong mỗi trường hợp sau:

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm.

b) AB = 20 cm, AC = 21 cm.

c) AB = AC = 6 cm.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng 1 dm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó.

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho một tam giác đều cạnh a

a) Tính độ dài đường cao của tam giác đó theo a.

b) Tính diện tích của tam giác đó theo a.

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Hoàn thành bảng dưới đây bằng cách với mỗi trường hợp, vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng \(a\left( {cm} \right)\),\(b\left( {cm} \right)\) và đo độ dài cạnh huyền \(c\left( {cm} \right)\) tương ứng.

 

Có nhận xét gì về quan hệ giữa \({c^2}\) và \({a^2} + {b^2}\) trong mỗi trường hợp?

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Dùng giấy màu, cắt tám tam giác vuông bằng nhau. Với mỗi tam giác vuông này, gọi độ dài các cạn

h góc vuông là \(a,b\) và độ dài cạnh huyền là \(c\). Dùng giấy bìa trắng, cắt hai hình vuông có cạnh bằng \(a + b\).

1. Đặt bốn tam giác vuông lên tấm bìa hình vuông thứ nhất như hình 3.2. Tính diện tích \({S_1}\) của phần bìa màu trắng không bị che lấp.

2. Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên tấm bìa hình vuông thứ hai như hình 3.2b. Tính diện tích \({S_2},{S_3}\) của phần bìa màu trắng không bị che lấp.

3. So sánh \({S_1}\) và \({S_2} + {S_3}\), từ đó nhận xét mối quan hệ giữa \({c^2}\) và \({a^2} + {b^2}.\)

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Tìm độ dài thích hợp cho ô \(?\).

a) \(\Delta {\rm{DEF}}\) vuông tại \(E\) có \({?^2} + {?^2} = {?^2}\)( định lí Pythagore)

b) \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\)có \({?^2} + {?^2} = {?^2}\) ( định lí Pythagore)

c) \(\Delta ABC\) vuông tại \(?\) có \(A{B^2} = A{C^2} + {?^2}\)( định lí Pythagore)

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Tìm độ dài \(x\) trong các tam giác vuông ở hình 3.5

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Các nhà sản xuất thường dựa vào độ dài đường chéo của màn hình điện thoại (tính theo đơn vị inch) để xác định kích thước màn hình chiếc điện thoại đó. Màn hình một chiếc điện thoại có chiều rộng \(6,9\,cm,\) chiều dài \(15\,cm\) thì có kích thước màn hình là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Biết 1 inch\( \approx 3,54\,cm.\)

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Hình 3.8 mô phỏng thiết kế của đoạn lên dốc dành cho người ngồi xe lăn trong một công trình xây dựng. Theo quy chuẩn quốc gia về xây dựng công trình đảm bảo người khuyết tật tiếp cận sử dụng (QCVN 10:2014/BXD), độ dốc không được lớn hơn \(\frac{1}{{12}}\), nghĩa là \(\frac{h}{d} \le \frac{1}{{12}}\). Thiết kế này có đáp ứng đúng quy chuẩn trên không?

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Tam giác DEF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (độ dài cạnh của ô vuông bằng 1) như trong hình 3.10. Tính độ dài cạnh của tam giác DEF.

 

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Tính độ dài đường cao của một tam giác đều có độ dài cạnh bằng \(4cm.\)

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Tính độ dài \(x\,\left( m \right)\) của thanh BC dùng để gia cố hàng rào gỗ trong hình 3.11 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Hình 3.12 là bản vẽ mô tả một lều hình chữ A khi cắm trại, BC là dây lèo, AB là cột chính cao \(1,6m\) và AC là khoảng cách từ chân cột đến vị trí cọc C. Tính độ dài dây BC theo mét (không tính phần dây buộc vào cọc), biết tam giác ABC vuông cân tại A và \(AC = 1,6m\)( làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Tính độ dài các cạnh và đường chéo của tứ giác \(ABCD\) trong Hình 3.23 (ta quy ước độ dài cạnh mỗi ô vuông nhỏ là 1 cm).

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Năm 2019, vệ tinh Tsubame của Nhật Bản được Tổ chức Kỉ lục thế giới Guinness ghi nhận là vệ tinh quan sát Trái Đất ở quỹ đạo thấp nhất. Trong Hình 3.90, vệ tinh Rsubame quan sát mặt đất ở vị trí \(A\) và có độ cao cách bề mặt Trái Đất là \(AB\). Tầm quan sát tối đa của vệ tinh Tsubame là đoạn thẳng \(AC\) có độ dài bằng 1470 km (từ vị trí \(A\), vệ tinh có thể quan sát thấy những nơi trên Trái Đất cách \(A\) không quá 1470 km). Cho biết ba điểm \(A,B,O\) thẳng hàng, bán kính Trái Đất là \(R = OB = OC = 6370km\) và \(AC\) vuông góc với \(OC\). Tính độ cao \(AB\) của vệ tinh Tsubame so với mặt đất theo kilomet (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

 

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Chứng minh tam giác \(ABC\) vẽ trên giấy kẻ ô vuông (Hình 3.91) là tam giác vuông cân.

 

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Cho tam giác MNP vuông tại M.

a) Tính độ dài cạnh NP biết \(MN = 7,MP = 24\).

b) Tính độ dài cạnh MP biết \(NP = 29,MN = 20\).

c) Tính độ dài cạnh MN biết \(NP = 61,MP = 11\).

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Tính chiều cao BH của tam giác ABC cân tại B (Hình 5), biết \(AB = 9cm\) và \(AC = 4cm\).

Xem lời giải >>
Bài 28 :

Tính độ dài x trong Hình 6

Xem lời giải >>
Bài 29 :

Tính độ dài cạnh chưa biết của các tam giác vuông sau:

Xem lời giải >>
Bài 30 :

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I. Cho biết \(BC = 15cm,CD = 24cm\) và \(AD = 20cm.\) Tính độ dài AB.

Xem lời giải >>