Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC với

\(S\left( { - 2;1;3} \right),{\rm{ }}A\left( { - 4;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;1} \right),C\left( { - 2;1 + \sqrt 3 ;3} \right)\).

a) Chứng minh rằng hai cạnh bên SA, SB bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Tính số đo của \(\widehat {ASC}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau thì tích vô hướng của chúng bằng \(\overrightarrow 0 \).

b) Tìm cos của \(\widehat {ASC}\) từ tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} \) sau đó suy ra giá trị của \(\widehat {ASC}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vectơ \(\overrightarrow {SA} \) có tọa độ:

\(\overrightarrow {SA}  = A - S = ( - 4 - ( - 2),3 - 1,2 - 3) = ( - 2,2, - 1)\)

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {SA} \) là:

\(|\overrightarrow {SA} | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt {4 + 4 + 1}  = \sqrt 9  = 3\)

Vectơ \(\overrightarrow {SB} \) có tọa độ:

\(\overrightarrow {SB}  = B - S = (0 - ( - 2),2 - 1,1 - 3) = (2,1, - 2)\)

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {SB} \) là:

\(|\overrightarrow {SB} | = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}}  = \sqrt {4 + 1 + 4}  = \sqrt 9  = 3\)

Suy ra SA và SB bằng nhau.

Tích vô hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \) là:

\(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {SB}  = ( - 2)(2) + 2(1) + ( - 1)( - 2) =  - 4 + 2 + 2 = 0\)

\(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {SB}  = 0\), nên SA và SB vuông góc với nhau.

Tích vô hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SC} \) là:

\(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {SC}  = ( - 2)(0) + 2(\sqrt 3 ) + ( - 1)(0) = 2\sqrt 3 \)

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {SC} \) là:

\(|\overrightarrow {SC} | = \sqrt {{0^2} + {{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2}}  = \sqrt 3 \)

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SC} \) được tính bằng công thức:

\(\cos \widehat {ASC} = \frac{{\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {SC} }}{{|\overrightarrow {SA} | \cdot |\overrightarrow {SC} |}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }} = \frac{2}{3}\)

Suy ra:

\(\widehat {ASC} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{3}} \right)\)