Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2). 

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  - 5\overrightarrow {BC} \). 

b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA}  =  - \overrightarrow {NB} \)

Phương pháp giải

a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).

b)

- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).

- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.

- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA}  =  - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.

- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):

\(\overrightarrow {AB}  = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)

\(\overrightarrow {AC}  = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)

\(\overrightarrow {BC}  = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)

Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):

\(\vec u = 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  - 5\overrightarrow {BC} \)

Thay các vectơ đã tính:

\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)

\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)

\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)

\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)

Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).

b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA}  =  - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:

\(2\left( {\overrightarrow A  - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B  - \overrightarrow N } \right)\)

Giải phương trình này:

\(2\overrightarrow A  - 2\overrightarrow N  =  - \overrightarrow B  + \overrightarrow N \)

Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)

Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)

Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)

\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)

\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).