Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Phương pháp giải

- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:

\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).

Thay tọa độ A và M để tìm B.

- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:

\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).

Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:

\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)

Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:

\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)

Thay toạ độ của điểm A, M vào:

\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)

Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).

b)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

Từ đó, ta có hệ phương trình:

\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)

Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:

\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) =  - 3\)

Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).