Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }}  = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).

a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }}  \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).

b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }}  \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).

Phương pháp giải

1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).

2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }}  \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:

\(\overrightarrow {{a^\prime }}  \cdot \overrightarrow {{b^\prime }}  = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)

trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).

b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }}  = \vec b\), nên:

\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)

Do đó, ta có:

\(\overrightarrow {{a^\prime }}  \cdot \overrightarrow {{b^\prime }}  = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)

trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).

Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:

\(\overrightarrow {{a^\prime }}  \cdot \overrightarrow {{b^\prime }}  = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)

Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).