Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Điểm \(M\) thuộc cạnh SA và \(SM = \frac{2}{3}SA\).

a) Viết hệ thức liên hệ giữa các cặp vectơ \(\overrightarrow {SM} \) và \(\overrightarrow {SA} \), \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AS} \).

b) Tìm điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {MN}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} \).

Phương pháp giải

a) Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ để thiết lập các mối quan hệ giữa các vectơ đã cho.

b) Sử dụng hệ thức liên quan đến vectơ để tìm tọa độ của điểm N thỏa mãn điều kiện đã cho.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(SM = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \overrightarrow {SM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA} \).

Vì \(M\) thuộc SA, nên \(MA = SA - SM\). Do đó:

\(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SM}  = \overrightarrow {SA}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {SA} \).

Ta cũng có: \(\overrightarrow {AS}  =  - \overrightarrow {SA} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {MA}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AS} \).

b) Tìm điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {MN}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} \).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BA}  \to \overrightarrow {MN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra: \(MN//AB;MN = \frac{2}{3}AB\).

Tam giác SAB có đoạn thẳng MN song song với AB và \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\) thì từ định lý Talet ta suy ra N thuộc cạnh SB:

\(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow SN = \frac{2}{3}SB\).