Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\) có đồ thị như Hình 1.16
a) Tìm các đường tiệm cận ngang của đô thị nếu có.
b) Vẽ các đường tiệm cận ngang vừa tìm được nếu có.
a) Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\)
b) Trên trục Oy tại điểm có giá trị bằng 2 vẽ một đường thẳng song song với Ox. Trên trục Oy tại điểm có giá trị bằng -2 vẽ một đường thẳng song song với Ox.
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\;\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}} \right)} \right]\;\) =\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{4{x^2} + 1}}} } \right)\;} \right]\;\)= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {1 + \frac{{4x}}{{4{x^2} + 1}}} } \right)\;} \right]\;\;\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {1 + \frac{{\frac{4}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}}} } \right)\;} \right]\;\;\;\) = 2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\;\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}} \right)} \right]\;\) =\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{4{x^2} + 1}}} } \right)\;} \right]\;\)= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {1 + \frac{{4x}}{{4{x^2} + 1}}} } \right)\;} \right]\;\;\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {1 + \frac{{\frac{4}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}}} } \right)\;} \right]\;\;\;\) = - 2.
b)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\) có đồ thị (C). Với \(x > 0\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = 2\) (H.1.19).
a) Tính khoảng cách MH.
b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số \(m\left( t \right) = 15{e^{ - 0,012t}}\). Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi \(t \to + \infty \)? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?
Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là \(C\left( x \right) = 2x + 50\) (triệu đồng). Khi đó, \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\). Tính chất này nói lên điều gì?
Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với \(x \ge 1\).
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 2x + 45\) (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\).
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{26x + 10}}{{x + 5}}\) với \(x \in [0; + \infty )\) có đồ thị là đường cong ở Hình 10 trong bài toán mở đầu. Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\).
Đồ thị hàm số ở Hình 18a, Hình 18b đều có đường tiệm cận ngang là đường thẳng màu đỏ. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}}\).
b) \(y = \frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}}\)
Số lượng sản phẩm bán được cho một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức
\(S\left( x \right) = 200\left( {5 - \frac{9}{{2 + x}}} \right)\) trong đó \(x \ge 1\).
a) Xem \(y = S\left( x \right)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([1; + \infty )\), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn.
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\)
b) \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{x}\) có đồ thị như Hình 4.
a) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = \frac{{x + 1}}{x},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = \frac{{x + 1}}{x}\)
b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \)
Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian \(t\) cho bởi công thức \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\), với \(y\) được tính theo \(mg/l\) và \(t\) được tính theo giờ, \(t \ge 0\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y(t)\). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn?
(Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = g(x) = \frac{1}{{2 + f(x)}}\).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5{\rm{x}} - 2}}{{x + 3}}\) là đường thẳng:
A. \(x = - 3\).
B. \(x = 5\).
C. \(y = - 3\).
D. \(y = 5\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị có đường tiệm cận ngang như Hình 10. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có thể là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. \(f\left( x \right) = \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}\).
B. \(f\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}\).
C. \(f\left( x \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}\).
D. \(f\left( x \right) = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{3{x^2} + x + 1}}\).
Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng \(y = - 2\) làm tiệm cận ngang?
A. \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{ - 1 + x}}\).
B. \(y = \frac{{ - x + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}}\).
C. \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\).
D. \(y = \frac{{ - 2{\rm{x + }}1}}{{x - 3}}\).
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C) là đường cong (Hình 1.12). Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm \(M(x;y) \in (C)\)M(x;y) tới đường thẳng y = 1 khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{5x + 1}}\) là
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2 - x}}\) là
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{{2 + x}}\) là
