Đề bài

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của lều là \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\), phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là \(\left( P \right):x = 2\), phương trình chứa sàn lều là \(\left( Q \right):z = 0\). Tìm tâm và bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Phương pháp giải

‒ Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\).

‒ Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến. Khi đó: \({r^2} + {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) = {R^2}\).

‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):

\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {3;3;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 9  = 3\).

Gọi \({r_1},{r_2}\) lần lượt là bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều, \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Mặt phẳng \(\left( P \right):x = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {3;3;1} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x = 2\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\).

Toạ độ tâm \({I_1}\) của đường tròn cửa lều có dạng: \({I_1}\left( {3 + t;3;1} \right)\)

\({I_1} \in \left( P \right) \Leftrightarrow 3 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Leftrightarrow {I_1}\left( {2;3;1} \right)\).

Ta có: \({d_1} = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 1\)

Suy ra \({r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2}  = \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Vậy đường tròn cửa lều có tâm \({I_1}\left( {2;3;1} \right)\) bán kính \({r_1} = 2\sqrt 2 \).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;0;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {3;3;1} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):z = 0\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

Toạ độ tâm \({I_2}\) của đường tròn cửa lều có dạng: \({I_2}\left( {3;3;1 + t} \right)\)

\({I_2} \in \left( Q \right) \Leftrightarrow 1 + t = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Leftrightarrow {I_2}\left( {3;3;0} \right)\).

Ta có: \({d_2} = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1\)

Suy ra \({r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2}  = \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Vậy đường tròn cửa lều có tâm \({I_2}\left( {3;3;0} \right)\) bán kính \({r_2} = 2\sqrt 2 \).