Đề bài

Cho \({\rm{A}} = 1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{2021}}\). Chứng tỏ rằng \({\rm{A}}\) chia hết cho 4.

Phương pháp giải

Chia thành các nhóm, mỗi nhóm có hai số hạng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\({\rm{A}} = {3^0} + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{2021}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{A}} = (1 + 3) + \left( {{3^2} + {3^3}} \right) +  \ldots  + \left( {{3^{2020}} + {3^{2021}}} \right)\\ = 4 + {3^2}.(1 + 3) +  \ldots  + {3^{2020}}.(1 + 3)\\ = 4 + {3^2}.4 +  \ldots  + {3^{2020}}.4\\ = 4.\left( {1 + {3^2} +  \ldots  + {3^{2020}}} \right)\end{array}\)

\(4 \vdots 4\) và \(\left( {1 + {3^2} +  \ldots  + {3^{2020}}} \right) \in {\rm{N}}\\ \Rightarrow 4.\left( {1 + {3^2} +  \ldots  + {3^{2020}}} \right) \vdots 4\)

Vậy \(A \vdots 4\).