Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) và \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 2 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương và một điểm bất kỳ của mặt phẳng này không thuộc mặt phẳng còn lại.

b) Tính khoảng cách của một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\), một vectơ pháp tuyến của (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \). Mà \(8 \ne 2\) do đó \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

b) Ta có điểm \(A\left( {0;0;8} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 8 + 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 2\).