Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2a,AD = 3a,AA' = 4a\left( {a > 0} \right)\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm thuộc các tia \(AB,AD,AA'\) sao cho \(AM = a,AN = 2a,AP = 3a\). Tính khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Phương pháp giải

Gắn vào hệ trục toạ độ và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng \(AB,AD,AA'\) đôi một vuông góc. Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) thoả mãn \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2a;0;0} \right),D\left( {0;3{\rm{a}};0} \right),\)\(A'\left( {0;0;4{\rm{a}}} \right)\).

Khi đó \(M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;2{\rm{a}};0} \right),P\left( {0;0;3{\rm{a}}} \right),C'\left( {2{\rm{a}};3{\rm{a}};4{\rm{a}}} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} = 1\) hay \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} - 1 = 0\).

Khi đó khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) bằng:

\(d\left( {C',\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{2{\rm{a}}}}{a} + \frac{{3{\rm{a}}}}{{2a}} + \frac{{4{\rm{a}}}}{{3a}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{3a}}} \right)}^2}} }} = \frac{{\frac{{23}}{6}}}{{\sqrt {\frac{{49}}{{36{a^2}}}} }} = \frac{{23a}}{7}\).