Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + 2y - 3z + 5 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right): - 4x - 8y + 12z + 3 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {{P_1}} \right)\parallel \left( {{P_2}} \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

Phương pháp giải

‒ Cho mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\). Gọi \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Khi đó \(\left( {{P_1}} \right)\parallel \left( {{P_2}} \right)\) khi và chỉ khi tồn tại số thực \(k \ne 0\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{D_2}\end{array} \right.\).

‒ Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;2; - 3} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4; - 8;12} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_2}}  =  - 4\overrightarrow {{n_1}} \)  và \(3 \ne  - 4.5\) nên \(\left( {{P_1}} \right)\parallel \left( {{P_2}} \right)\).

b) Chọn điểm \(M\left( { - 5;0;0} \right) \in \left( {{P_1}} \right)\). Khi đó ta có:

\(d\left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4.\left( { - 5} \right) - 8.0 + 12.0 + 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{23\sqrt {14} }}{{56}}\).