Đề bài

Tìm \(a + b\) biết \(\frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x - 2}} = \frac{a}{{x - 2}} + \frac{b}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Phương pháp giải

- Rút gọn VP.

- Sau khi rút gọn biến đổi tử dưới dạng: \(A{x^2} + Bx + C\)

- Do mẫu thức đã bằng nhau, so sánh tử thức VP với tử thức VT để hệ số của \({x^2}; x\) và hằng số C bằng nhau.

Tìm \(a; b\) và tính \(a + b\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(VP = \frac{a}{{x - 2}} + \frac{b}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{a{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{{b\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a{{\left( {x + 1} \right)}^2} + b\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + bx - 2b}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}\\ = \frac{{a{x^2} + 2ax + a + bx - 2b}}{{{x^3} + 2{x^2} + x - 2{x^2} - 4x - 2}}\\ = \frac{{a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + \left( {a - 2b} \right)}}{{{x^3} - 3x - 2}}\end{array}\)

Mà vế phải bằng \(\frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x - 2}}\).

Khi đó, đồng nhất hai vế, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\a - 2b = 5\end{array} \right.\)

Thay \(a = 1\) vào \(a - 2b = 5\). Suy ra \(b =  - 2\).

Vậy \(a + b = 1 + \left( { - 2} \right) =  - 1\)