Đề bài

Cho biểu thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Phương pháp giải

- Tách \({x^2} - 2x + 5\) thành bình phương của một tổng.

- Sử dụng kiến thức: \({a^2} \ge 0\) với mọi a và biến đổi dần đến khi xuất hiện biểu thức A.

- Nếu \(x \le y\) thì \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\).

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\(\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}} \le \frac{1}{4}\)

\(\frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}} \le \frac{{16}}{4}\)

\(\frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}} \le 4\)

Suy ra \(A \le 4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\) .

Vậy với \(x = 1\) thì A đạt giá trị lớn nhất là 4.