Đề bài

Gọi \(H\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {2^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\).

a) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng \(H\).

b) Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng \(H\) quay quanh trục \(Ox\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

• Tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) quay quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Diện tích hình phẳng được tính theo công thức:

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {{2^x}} \right|dx}  = \int\limits_1^2 {{2^x}dx}  = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_1^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} = \frac{2}{{\ln 2}}\).

b) Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{2^x}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_1^2 {{2^{2x}}dx}  = \pi \int\limits_1^2 {{4^x}dx}  = \left. {\frac{{\pi {4^x}}}{{\ln 4}}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{4^2}}}{{\ln 4}} - \frac{{{4^1}}}{{\ln 4}}} \right) = \frac{{12\pi }}{{2\ln 2}} = \frac{{6\pi }}{{\ln 2}}\).