Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3y - 3z + 1 = 0\).

Phương pháp giải

Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a\) của đường thẳng \(d\) và một vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \(\left( P \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;2;1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;3; - 3} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 2.3 + 1.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{6}.\)

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {13^o}38'\).