Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y =  - 11 + t\\z =  - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)

b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)

c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)

Phương pháp giải

Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).

c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)