Đề bài

Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).

Phương pháp giải

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.

b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).

c) Từ câu b, rút ra kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).

Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)

b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)

c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)

Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)

Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).

Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)

Xem thêm : SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + t\\z = 2t\end{array} \right.\).

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Tính góc giữa d và d’.

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Lấy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) sao cho \({\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right),\) \({\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)\) (Hình 31).

\

a) Nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\).

b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) như trên không?

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + {t_1}\\y = 4 + \sqrt 3 {t_1}\\z = 0\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 + {t_2}\\z = 5\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số);

b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}\).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\), biết: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y = 2 - \sqrt 2 {t_1}\\z = 3 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + {t_2}\\y = 1 + {t_2}\\z = 5 - \sqrt 2 {t_2}\end{array} \right.\) ( là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.

b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)

b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 7}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 7}}{3} = \frac{{z - 12}}{6}\).

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = at\\y = bt\\z = ct\end{array} \right.\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\).

Côsin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và trục \(Oz\) bằng:

A. \(\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

B. \(\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

C. \(\frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

D. \(\frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = at\\y = bt\\z = ct\end{array} \right.\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\).

Sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\left| {a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

B. \(\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

C. \(\frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

D. \(\frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2{t_1}\\y = - 2 + {t_1}\\z = 0\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + {t_2}\\y = - 3 - {t_2}\\z = 2{t_2}\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số);

b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 - 2t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 10}}{{ - 1}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 5}}{{ - 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\).

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 18 - \sqrt 3 t\\y = 11\\z = 5 + t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \(\left( P \right):x - \sqrt 3 y - z - 3 = 0\);

b) \(\Delta :\frac{{x - 8}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{3}\) và \(\left( P \right):3x - 4y + 5z - 6 = 0\).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + \sqrt 2 {t_1}\\y = 9 - {t_1}\\z = 10 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + {t_2}\\y = - 9 + \sqrt 2 {t_2}\\z = 11 - {t_2}\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

\(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\) bằng

A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{30}}\).

B. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{{30}}\).

C. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).

D. \(\frac{{ - 3\sqrt 5 }}{{10}}\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\)

b) \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{z}{5}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 2 - t\;\\y = 3 + 2t\;\\z = 2t\end{array}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho hai vectơ ngược hướng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và \(\vec a'\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d'\)(Hình 5.26). Cho biết \((d,d') = {45^{^\circ }}\). Hãy tính số đo của hai góc: \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \((\vec b,\vec a')\). Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc \((d,d')\) và \((\vec a,\vec a')\), giữa \(\cos (d,d')\) và \(\cos (\vec a,\vec a')\).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \mathbb{R}}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\quad {\rm{và}}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}\\{y = - 1 + 3t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 4 + 2t'}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\quad {\rm{và }}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}\\{y = - 1 + t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).

c) \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{6}\quad {\rm{và }}\quad d':\frac{x}{{12}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 5}}{3}\) và d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 1 + 2t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\). Góc giữa d và d’ bằng

A.

\({45^o}\)
B.

\({60^o}\)
C.

\({30^o}\)
D.

\({90^o}\)

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và d’: \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\). Góc giữa d và d’ bằng

A.

\({45^o}\)
B.

\({30^o}\)
C.

\({60^o}\)
D.

\({90^o}\)

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Cosin góc giữa đường thẳng d và trục Ox là

A.

\(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\)
B.

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
C.

\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)
D.

\(\frac{1}{6}\)

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{{ 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z - 2 = 0. Góc giữa d và d’

A.

\({30^o}\)
B.

\({45^o}\)
C.

\({60^o}\)
D.

\({90^o}\)

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Ox. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm A(2;0;0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = (2;0;1)\). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay gần với giá trị nào sau đây nhất?

A.

\({26^o}\)
B.

\({27^o}\)
C.

\({28^o}\)
D.

\({29^o}\)

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và d’: \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{4}\). Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A.

\({42^o}\)
B.

\({43^o}\)
C.

\({44^o}\)
D.

\({45^o}\)

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu độ?

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 2 - 6t}\end{array}} \right.\) (với \(t \in \mathbb{R}\)). Khi đó \(\cos (d,d')\) bằng:

A. \(\frac{{20}}{{21}}\).

B. \(\frac{4}{{21}}\).

C. \( - \frac{4}{{21}}\).

D. \( - \frac{{20}}{{21}}\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \((\alpha ): 4x + 3y + 5z - 4 = 0\) bằng:

A. \({30^\circ }\)

B. \({120^\circ }\)

C. \({60^\circ }\)

D. \({150^\circ }\)

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1\\z = 1 - t\end{array} \right.\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Giá trị \(\cos \varphi \) có dạng \(\frac{{a\sqrt c }}{b}\). Tính giá trị biểu thức P = b – 3a + c.

Xem lời giải >>