Đề bài

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)

b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).

Phương pháp giải

Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).

b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).

c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).