Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.\)

b) \(d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}.\)

Phương pháp giải

Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a\) và một điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d.\)

Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a'\) và một điểm \(M'\) nằm trên đường thẳng \(d'.\)

Tính tích có hướng \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right]\), sau đó tính tích vô hướng \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} \). Nếu tích vô hướng bằng 0, hai đường thẳng cắt nhau, ngược lại thì hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {2; - 1; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {4;7;11} \right)\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {10; - 34;18} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)

Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'}  = 10.2 + \left( { - 34} \right)\left( { - 1} \right) + 18.\left( { - 3} \right) = 0\).

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {4;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;2;9} \right)\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {14; - 3; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 2;0;0} \right)\)

Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'}  = 14.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).0 + \left( { - 4} \right).0 =  - 28 \ne 0.\)

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.