Đề bài

Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\); \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y =  - 2 + t'\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\) và \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t''\\y =  - 2 + t''\\z = 3 + 3t''\end{array} \right.\)

a) Đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) có song song hay trùng với đường thẳng \(d\) không?

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t =  - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t'\)).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)

c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t =  - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t''\)).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d''.\)

Phương pháp giải

a) Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, nhận xét các vectơ có cùng phương hay không, từ đó kết luận.

b) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.

c) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) lần lượt là \(\vec u = \left( {1;3; - 1} \right)\), \(\vec u' = \left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\vec u'' = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Ta thấy rằng \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{3}{1}\), nên vectơ \(\vec u\) không cùng phương với các vectơ \(\vec u'\) và \(\vec u''\).

Suy ra đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) không song song hay trùng với đường thẳng \(d\).

b) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t =  - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t =  - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)

Thay \(t =  - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình thoả mãn (do \(4 = 4\)). Vậy \(t =  - 1\) và \(t' = 1\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có điểm chung, tức chúng cắt nhau.

c) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t =  - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t =  - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)

Thay \(t =  - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình không thoả mãn (do \(4 \ne 6\)). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d''\) không có điểm chung, tức chúng chéo nhau.