Đề bài

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)

b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}.\)

Phương pháp giải

Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {7;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \frac{1}{2}\vec a\).

Thay toạ độ điểm \(M\left( {7;3;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:

\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\). Phương trình thoả mãn, vậy \(M\) thuộc \(d'\). Suy ra \(d \equiv d'\).

b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(N\left( {0;0;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {3;3;4} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;4;4} \right) = \vec a\).

Thay toạ độ điểm \(N\left( {0;0;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:

\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\). Phương trình không thoả mãn, vậy \(N\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).