Đề bài

Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.\); \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.\).

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) và \(d''.\)

b) Xét điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm trên \(d\). Điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hoặc \(d''\) không?

c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), \(d\) và \(d''\)?

Phương pháp giải

a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) và nhận xét.

b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) để tìm giá trị của tham số \(t'\), sau đó thay tung độ, cao độ của \(M\) và giá trị của tham số vừa tìm được vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d'\) để nhận xét điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hay không. Thực hiện tương tự để nhận xét điểm \(M\) có nằm trên \(d''\) hay không.

c) Từ câu b, rút ra kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec u\left( {1;2;3} \right)\), \(\vec u'\left( {2;4;6} \right)\) và \(\vec u''\left( {2;4;6} \right)\).

Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\) nên ba vectơ \(\vec u\), \(\vec u'\) và \(\vec u''\) là các vectơ cùng phương. Suy ra \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2t'\) ta có \(4 = 2t'\), suy ra \(t' = 2\).

Thay \(y = 1\) và \(t' = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 4t'\), ta có \(1 = 7 + 4.2\). Điều này là vô lí. Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\).

Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 2t''\) ta có \(4 = 5 + 2t''\), suy ra \(t'' =  - \frac{1}{2}\).

Thay \(y = 1\), \(z = 1\) và \(t'' =  - \frac{1}{2}\) vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d''\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + 4.\frac{{ - 1}}{2}\\1 = 4 + 6.\frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\). Các phương trình đều thoả mãn. Vậy điểm \(M\) thuộc \(d''\).

c) Từ các câu a và b, ta có \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau; điểm \(M\) thuộc \(d\) và \(d''\), \(M\) không thuộc \(d'\). Vậy ta suy ra \(d\parallel d'\) và \(d \equiv d''\).