Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) cố định và có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) khác \(\vec 0.\)

a) Giải thích tại sao ta có thể viết \(M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

b) Với \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), hãy tính \(x\), \(y\), \(z\) theo \({x_0}\), \({y_0}\), \({z_0}\) và \({a_1}\), \({a_2}\), \({a_3}.\)

Phương pháp giải

a) Chỉ ra rằng \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương.

b) Sử dụng tính chất của hai vectơ cùng phương.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Nếu \(M \in d\), ta có \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \({M_0}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương, suy ra \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Ngược lại, với \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương. Mà \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do \({M_0} \in d\), nên ta suy ra \(M \in d\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).

Theo câu a, ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) nên \(\left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right) = t\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = t{a_1}\\y - {y_0} = t{a_2}\\z - {z_0} = t{a_3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)