Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = 5a$, $SA = 3a$. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$

Phương pháp giải

Xác định toạ độ các điểm $A$, $S$, $B$, $C$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, từ đó tính được khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Theo hình vẽ, toạ độ điểm $A$ là $A\left( {0;0;0} \right).$

Điểm $B$ nằm trên trục $Ox$, ${x_B} > 0$ và $AB = 2a$ nên toạ độ điểm $B$ là $B\left( {2a;0;0} \right).$

Điểm $S$ nằm trên trục $Oz$, ${z_S} > 0$ và $SA = 3a$ nên toạ độ điểm $S$ là $S\left( {0;0;3a} \right).$

Điểm $D$ nằm trên trục $Oy$, ${y_D} > 0$ và $AD = 5a$ nên toạ độ điểm $D$ là $D\left( {0;5a;0} \right).$

Điểm $C$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, $CB \bot Ox$, $CD \bot Oy$ nên toạ độ điểm $C$ là $C\left( {2a;5a;0} \right).$

Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ đi qua $S$, $B$, $C$. Ta có $\overrightarrow {SB}  = \left( {2a;0; - 3a} \right)$ và $\overrightarrow {BC}  = \left( {0;5a;0} \right)$. Suy ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là $\vec u = \frac{1}{a}\overrightarrow {SB}  = \left( {2;0; - 3} \right)$ và $\vec v = \frac{1}{a}\overrightarrow {BC}  = \left( {0;5;0} \right).$

Từ đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là

$\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {0.0 - \left( { - 3} \right).5;\left( { - 3} \right).0 - 2.0;2.5 - 0.0} \right) = \left( {15;0;10} \right).$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là

$15\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 10\left( {z - 3a} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là:

$d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.0 - 6a} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}.$