Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):2x - y + z - 7 = 0\).

Phương pháp giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\), \(B\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} .\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Do đó \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\vec n\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right]\). Từ đó viết được phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Như vậy \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right)\) và \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right] = \left( {2.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.2 - 4.1;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\(4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) - 8\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0.\)