Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\left( \alpha  \right)\)(hình dưới đây).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)\) và \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\)

b) Tính \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n\) theo \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) và toạ độ của \({M_0}\).

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|\).

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính \(d\left( {{M_0},\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|}}\).

Phương pháp giải

a) Xét vị trí tương đối của giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) và kết luận.

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính tích \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n\).

c) Sử dụng công thức nhân của hai vectơ \(\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\) để chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|\).

d) Từ câu c, rút ra nhận xét.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vectơ pháp tuyến \(\vec n\) có giá vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\). Do \({M_1}\) là hình chiếu của \({M_0}\) trên \(\left( \alpha  \right)\) nên \({M_1}{M_0} \bot \left( \alpha  \right)\), suy ra \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) có giá vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) cùng có giá vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\), nên chúng là hai vectơ cùng phương.

b) Ta có:

\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n = A\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + B\left( {{y_0} - {y_1}} \right) + C\left( {{z_0} - {z_1}} \right) = A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} - \left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1}} \right)\)

Do \({M_1} \in \left( \alpha  \right)\) nên \(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0 \Rightarrow D =  - \left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1}} \right)\).

Như vậy \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n = A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\vec n} \right)\).

Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) cùng phương, nên góc giữa hai vectơ này bằng \({0^o}\) (cùng chiều) hoặc \({180^o}\) (ngược chiều).

Dễ thấy rằng \(\cos {0^o} = 1\) và \(\cos {180^o} =  - 1\). Suy ra \(\left| {\cos {0^o}} \right| = \left| {\cos {{180}^o}} \right| = 1\), điều này có nghĩa là \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\vec n} \right)} \right| = 1\).

Như vậy, \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\vec n} \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|\].

d) Ta có \({M_1}{M_0} \bot \left( \alpha  \right)\) và \({M_1} \in \left( \alpha  \right)\) nên khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = {M_1}{M_0} = d\left( {{M_0},\left( \alpha  \right)} \right)\).

Vậy ta có \(d\left( {{M_0},\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|}}\).