Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).

a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải

a) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5;2;0} \right)\).

b) Do \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là:

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:

\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).