Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)

a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải

a) Do \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha  \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Do \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha  \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:

\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).

Vậy \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:

\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).