Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.

a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).

b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải

a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).

c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha  \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M}  = 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)

b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M}  = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)

c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha  \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M}  = 0\).

Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)