Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha  \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta  \right):x + 4z - 12 = 0\).

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).

Phương pháp giải

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).

b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta  \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}}  = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), ta được:

\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 =  - 5 \ne 0\).

Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha  \right)\).

Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), ta được:

\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).

Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha  \right)\).