Quy đồng mẫu hai phân thức: \(\frac{1}{x};\frac{{ - 1}}{y}\)
Tìm mẫu thức chung của hai phân thức và nhân tử phụ của mỗi phân thức
MTC = xy
Nhân tử phụ của x là: y
Nhân tử phụ của y là: x
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng có: \(\frac{1}{x} = \frac{y}{{xy}}{;^{}}\frac{{ - 1}}{y} = \frac{{ - x}}{{xy}}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho hai phân thức: \(\dfrac{1}{{x + 1}};\dfrac{1}{{x - 1}}\)
a) Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên
b) Từ câu a, hãy thực hiện phép tính: \(\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}\)
Bài 2 :
Thực hiện phép tính: \(\dfrac{1}{{{x^2} + xy}} + \dfrac{1}{{xy + {y^2}}}\)
Bài 3 :
Hãy nêu các tính chất của phép cộng phân số.
Bài 4 :
Tính một cách hợp lí:
\(\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}} + \dfrac{{1 - 2{y^2}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}\)
Bài 5 :
Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước. Thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đẩy bể ít hơn thời gian vòi thức hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể. Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ.
b) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ.
Bài 6 :
Gia đình chú Lương nuôi ba con lợn con. Cả ba con lợn đều ăn cùng một loại thức ăn gia súc. Biểu đồ cột ở Hình 2 biểu diễn số ngày mà mỗi con lợn ăn hết một bao thức ăn. Hỏi cả ba con lợn ăn trong x ngày \((x \in \mathbb{N}*)\) thì cần bao nhiêu bao thức ăn?
Bài 7 :
Hai người thợ cùng sơn một bức tường. Nếu một mình sơn xong bức tường thì người thứ nhất làm xong lâu hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi x là số giờ mà người thứ nhất một mình sơn xong bức tường. Viết phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ theo x.
Bài 8 :
Cho hai phân thức \(\frac{7}{{{x^2} + 3x}}\) và \(\frac{9}{{2x + 6}}.\)
a) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đó
b) Cộng các phân thức có cùng mẫu thức tìm được ở câu a.
Bài 9 :
Tính tổng của hai phân thức \(\frac{b}{{ab - {a^2}}}\) và \(\frac{a}{{ab - {b^2}}}\)
Bài 10 :
Thực hiện phép cộng: \(\frac{{5x}}{{{x^2} + 6x + 9}} + \frac{{x + 2}}{{x + 3}} + \frac{{3 - 4x}}{{{x^2} + 6x + 9}}.\)
Bài 11 :
Một vận động viên thi đấu trong một chặng đua xe đạp dài 120 km. Nửa chặng đường đầu vận động viên đó đạp xe với vận tốc là \(v\left( {km/h} \right)\). Nửa chặng đường sau, vận động viên đó đạp xe với vận tốc nhỏ hơn 4 km/h so với tốc độ nửa chặng đường đầu.
a) Viết hai phân thức theo \(v\) lần lượt biểu diễn thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua đầu và nửa chặng đua sau.
b) Tìm phân thức theo \(v\) biểu diễn thời gian để vận động viên đó hoàn thành cả chặng đua.
c) Tính thời gian để vận động viên đó hoàn thành chặng đua nếu \(v = 40\left( {km/h}
Bài 12 :
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{4}{{y - 5}} + \frac{2}{{2y + 1}}\)
b) \(\frac{{6x}}{{3x - 2}} - \frac{{x - 10}}{{2 - 3x}}\)
c)\(\frac{b}{{2{a^2} - ab}} + \frac{{4a}}{{{b^2} - 2ab}}\)
d)\(\frac{m}{{{{\left( {m - n} \right)}^2}}} - \frac{{{m^2}}}{{{n^2} - {m^2}}}\).
Bài 13 :
Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) tại \(x = 0,5\) là:
A. \(\frac{{22}}{{37}}\)
B. \(\frac{{22}}{{35}}\)
C. \(\frac{{24}}{{35}}\)
D. \(\frac{{24}}{{37}}\)
Bài 14 :
Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến \(A\) đến bến \(B\) dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến \(B\) trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí \(C\) cách bến \(A\) là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi \(x\) (km/h) là tốc độ của ca nô thứ nhất \(\left( {x > 4} \right)\). Viết phân thức biểu thị theo \(x\).
a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\).
b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(B\) đến vị trí \(C\).
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\) và từ bến \(B\) đến vị trí \(C\).
Bài 15 :
Trở lại tình huống mở đầu. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là 30km/h, hãy tính thời gian vận động viên đó hoàn thành mỗi chặng đua và tính tổng thời gian để hoàn thành cuộc đua
Bài 16 :
Tính tổng: \(\frac{5}{{2{{\rm{x}}^2}\left( {6{\rm{x}} + y} \right)}} + \frac{3}{{5{\rm{x}}y\left( {6{\rm{x}} + y} \right)}}\)
Bài 17 :
Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20km, xe chạy trong thành phố với vận tốc x(km/h) (x>0). Trên 50km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê
a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc
b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê
Bài 18 :
Thực hiện các phép tính:
a) \(\frac{{{x^2} - 3{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2}}} + \frac{{5{\rm{x}} - 1 - {x^2}}}{{2{{\rm{x}}^2}}}\)
b) \(\frac{y}{{x - y}} + \frac{x}{{x + y}}\)
c) \(\frac{x}{{2{\rm{x}} - 6}} + \frac{y}{{2{\rm{x}}\left( {3 - x} \right)}}\)
Bài 19 :
Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h)
a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy
b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2km/h
Bài 20 :
Thực hiện phép tính đã chỉ ra:
\(a)\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}}\)
\(b)\frac{x}{{2{\rm{x}} - y}} + \frac{y}{{2{\rm{x}} + y}} + \frac{{3{\rm{x}}y}}{{{y^2} - 4{{\rm{x}}^2}}}\)
Bài 21 :
Cho biểu thức
a) Rút gọn \(P = \frac{{{x^2} - 6{\rm{x}} + 9}}{{9 - {x^x}}} + \frac{{4{\rm{x + 8}}}}{{x + 3}}\)
b) Tính giá trị của P tại x = 7
c) Chứng tỏ \(P = 3 + \frac{2}{{x + 3}}\). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên
Bài 22 :
Tìm \(a + b\) biết \(\frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x - 2}} = \frac{a}{{x - 2}} + \frac{b}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Bài 23 :
Thực hiện phép tính \(\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}}\) ta được kết quả là
\(0\).
\(\frac{{x - y + 2}}{{x - y}}\).
\(\frac{{x + y - 2}}{{x - y}}\).
\(1\).
Bài 24 :
Kết quả của phép tính \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} + \frac{5}{{3 - x}}\) là:
\(\frac{{2x + 4}}{{x - 3}}\).
\(\frac{{2x - 4}}{{x - 3}}\).
\(\frac{{2x + 4}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\).
\(\frac{{2x + 6}}{{x - 3}}\).
Bài 25 :
Tính các tổng sau:
a) \(\frac{5}{{6{x^2}y}} + \frac{7}{{12x{y^2}}} + \frac{{11}}{{18xy}};\)
b) \(\frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Bài 26 :
a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^4}}}{{1 - x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\)
b) Tính giá trị của P tại \(x = - 99\)
Bài 27 :
a) Chứng minh rằng nếu \(a,b,c \ne 0,a + b + c = 0\) thì \(\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = 0\)
b) Chứng minh rằng nếu \(x \ne y,y \ne z,z \ne x\) thì
\(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}} = 0\)
Bài 28 :
Cho biểu thức \(P = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}.\) Chứng minh rằng khi x, y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(3y - x = 6\) thì P có giá trị không đổi.
Bài 29 :
Một tàu chở hàng đi từ cảng A đến cảng B cách nhau 900km với vận tốc không đổi là x (km/h). Khi đi được \(\frac{1}{3}\) quãng đường thì một động cơ của tàu bị hỏng nên tàu chỉ còn chạy với vận tốc 12km/h trong suốt 3 giờ tàu sửa chữa động cơ. Để về cảng B không muộn hơn dự định, tàu phải tăng vận tốc thêm 5km/h. Viết phân thức tính thời gian thực tế để tàu đi từ cảng A đến cảng B.
Bài 30 :
Tính tổng \(\frac{{x + 1}}{x} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{{ - x}}\), ta được kết quả là
A. \(\frac{{2x}}{{x - 1}}\).
B. \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - x}}\).
C. \(\frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\).
D. \(\frac{x}{{x - 1}}\).
Danh sách bình luận