Đề bài

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $N$ là trung điểm của cạnh $SA$.

a) Tìm giao điểm của $AC$ và mặt phẳng $(SBD)$.

b) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(NBC)$. Thiết diện là hình gì?

 

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song: Nếu hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với 2 đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O \in AC}\\{O \in BD \subset (SBD)}\end{array}} \right.\)

Vậy $O$ là giao điểm của $AC$ và mặt phẳng $(SBD)$.

b) 

ABCD là hình bình hành nên AD//BC.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(NBC) \cap (SAD) = \{ N\} }\\\begin{array}{l}BC \subset (NBC)\\AD \subset (SAD)\end{array}\\{BC//AD}\end{array}} \right.\] nên giao tuyến của (SAD) và (NBC) là đường thẳng d qua N và song song với AD, BC.

Xét trong mặt phẳng (SAD), gọi M là giao điểm của d và SD. Khi đó \(M \in d \subset (NBC)\).

Từ đó dễ dàng chứng minh BNMC là thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng (NBC).

Vì MN//BC nên BNMC là hình thang.