Đề bài

Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right) = 4\). Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right) - 2g\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 2g\left( x \right)}}\) bằng

A. \( - 1\).

B. 0.

C. \(\frac{1}{2}\).

D. \( - \frac{1}{2}\).

Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) (với \(M \ne 0\)).

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } c = c\) (với c là hằng số)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right) = 4 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = 4 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \frac{{4 - 2}}{2} = 1\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right) - 2g\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 2g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]}} = \frac{{2 - 2.1}}{4} = 0\).

Chọn B