Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right)\);
b) \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\);
c) \(\lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\);
d) \(\lim \frac{{3 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}}\).
a) Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\): \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số).
b) Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương.
c) Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\): \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số)
d) Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số)
a) \(\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right) = \lim 2 + \lim \frac{5}{n} = 2 + 0 = 2\);
b) \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{3}{n} - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 0 - 0 = 0\);
c) \(\lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\)\( = \lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\lim \left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\)\( = \left( {\lim 3 - \lim \frac{4}{n}} \right)\left( {\lim 2 + \lim \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\)
\( = 3.2 = 6\)
d) \(\lim \frac{{3 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}}\)\( = \frac{{\lim \left( {3 - \frac{3}{n}} \right)}}{{\lim \left( {1 + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}\)\( = \frac{{\lim 3 - \lim \frac{3}{n}}}{{\lim 1 + \lim \frac{1}{{{n^3}}}}}\)\( = \frac{3}{1} = 3\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{{{3^n} - {{2.5}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}} + {5^n}}}\) bằng:
-
A.
-15
-
B.
-10
-
C.
10
-
D.
15
Bài 2 :
Kết quả của giới hạn \(\lim \left( {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)\) là:
-
A.
\(\frac{{11}}{{18}}\)
-
B.
2
-
C.
1
-
D.
\(\frac{3}{2}\)
Bài 3 :
Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}}\) bằng:
-
A.
\(4\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(\frac{1}{2}\).
-
D.
\(\frac{1}{3}\).
Bài 4 :
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng:
-
A.
1.
-
B.
0.
-
C.
2.
-
D.
4.
Bài 5 :
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.
Bài 6 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).
Bài 7 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }{v_n}\;\).
Bài 8 :
Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\).
Bài 9 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Bài 10 :
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - x,x < 0\\\sqrt x ,x \ge 0\end{array} \right.\)
Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right),\;\;\;\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \;f\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;f\left( x \right)\).
Bài 11 :
Chứng minh rằng \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)
Bài 12 :
Chứng minh rằng \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} = - 4.\)
Bài 13 :
Chứng minh rằng:
a) \(\lim 0 = 0;\)
b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\) \(\)
Bài 14 :
Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\) trên hệ trục tọa độ.
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị \({u_n}\) khi n ngày càng lớn.
b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
Kể từ số hạng \({u_n}\) nào của dãy số thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Bài 15 :
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2};\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.\)
Bài 16 :
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right)\);
b) \(\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right)\).
Bài 17 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\).
a) Cho dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} - 2\). Tìm giới hạn \(\lim {v_n}\).
b) Biểu diễn các điểm \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\) trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm \({u_n}\) khi \(n\) trở nên rất lớn?
Bài 18 :
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{1}{{{n^2}}}\);
b) \(\lim {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^n}\).
Bài 19 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với .\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).
a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
b) Với \(n\) thế nào thì \(\left| {{u_n}} \right|\) bé hơn 0,01; 0,001?
c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.
Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm \({u_n}\) đến điểm 0 khi \(n\) trở nên rất lớn?
Bài 20 :
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{ - 2n + 1}}{n}\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {16{n^2} - 2} }}{n}\)
c) \(\lim \frac{4}{{2n + 1}}\)
d) \(\lim \frac{{{n^2} - 2n + 3}}{{2{n^2}}}\)
Bài 21 :
\(\lim \frac{{n + 3}}{{{n^2}}}\) bằng:
A. 1.
B. 0.
C. 3.
D. 2.
Bài 22 :
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{3n - 1}}{n}\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2} }}{n}\)
c) \(\lim \frac{2}{{3n + 1}}\)
d) \(\lim \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}}{{{n^2}}}\)
Bài 23 :
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\);
b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\);
c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\);
d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\);
e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\);
g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\).
Bài 24 :
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\);
b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\);
c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\);
d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).
Bài 25 :
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = 3,\lim {v_n} = 4\). Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \left( {3{u_n} - 4} \right)\);
b) \(\lim \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right)\);
c) \(\lim {\left( {{u_n} - {v_n}} \right)^2}\);
d) \(\lim \frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}}\).
Bài 26 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).
Bài 27 :
Tùy theo giá trị của \(a > 0\), tìm giới hạn \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}\).
Bài 28 :
\(\lim \frac{{3{n^2} + 2n}}{{2 - {n^2}}}\) bằng
A. \(\frac{3}{2}\).
B. \( - 2\).
C. 3.
D. \( - 3\).
Bài 29 :
\(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 4n + 1} }}{{4n + 1}}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. 1.
C. 2.
D. \( + \infty \).
Bài 30 :
\(\lim \frac{{2n + 1}}{{\sqrt {9{n^2} + 1} - n}}\) bằng
A. \(\frac{2}{3}\).
B. 1.
C. \(\frac{1}{4}\).
D. 2.
