Đề bài

Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) và \(\cos \beta  = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)\) bằng

A. \(\frac{7}{{12}}\).

B. \(\frac{1}{{12}}\).

C. \(\frac{{\sqrt {15} }}{{12}}\).

D. \(\frac{7}{{144}}\).

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng để tính: \(\sin \alpha \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right]\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - 2.\frac{{15}}{{16}} = \frac{{ - 7}}{8}\);\(\cos 2\beta  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.\frac{1}{9} - 1 = \frac{{ - 7}}{9}\).

\(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\beta  - \cos 2\alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{7}{8} - \frac{7}{9}} \right) = \frac{7}{{144}}\).

Chọn D