Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\). Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tìm số giá trị của n sao cho \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\) nguyên.

Ta có \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\). Khi đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên, hay \(n + 1\) là ước của 5.

Điều đó xảy ra khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n + 1 = 1}\\{n + 1 = 5}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 0}\\{n = 4}\end{array}} \right.\)

Vì \(n \in \mathbb{N}*\) nên loại n = 0.

Khi n = 4 thì \({u_4} = 7\).

Vậy, dãy chỉ có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).