Đề bài

Giá trị nhỏ nhất của \(M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) là bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức dựa vào các công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), hằng đẳng thức…

Tìm giá trị nhỏ nhất của M dựa vào tập giá trị của hàm y = sinx.

\(M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} -2 {\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\).

Ta có: \({\sin ^2}2x \le 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\frac{1}{2} = 0,5\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Đồ thị của các hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\)?

A. 5 B. 6 C. 4 D. 7

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

\(p\left( t \right) = 115 + 25\sin \left( {160\pi t} \right)\;\)

Trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimet thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t)

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) \(3\sin x + 2 = 0\) trên đoạn \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\)

b) \(\cos x = 0\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho hàm số \(y = \sin x\). Khi đó

a) \(\sin x < 0\) khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\)

b) Hàm số \(y = \sin x\) lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

c) Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

d) Hàm số \(y = \sin x\) có chặn dưới là 0

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha = (Ox,OM)\) theo hàm số \({v_x} = 0,25\sin \alpha \) (m/s). Vận tốc lớn nhất của cabin là (Viết dưới dạng số thập phân)?

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tập giá trị của hàm số y = cotx là

A.

T = [-2;2]
B.

\(T = \mathbb{R}\)
C.

\(T = \mathbb{Q}\)
D.

\(T = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi ,k \in \mathbb{Z}\} \)

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tập giá trị T của hàm số y = sin 2x là

A.

T = [-1;1]
B.

T = [0;1]
C.

T = (-1;1)
D.

T = [-2;2]

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = 1 - 2\left| {{\rm{cos}}3x} \right|\) là

A.

\(M = 3\)
B.

\(M = 2\)
C.

\(M = 1\)
D.

\(M = 0\)

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {1 - {\rm{sin}}x} }}\) là

A.

\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
B.

\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C.

\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D.

\(D = \emptyset \)

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Tập giá trị \(T\) của hàm số \(y = 5 - 3\sin x\) là

A.

\(T = \left[ { - 1;1} \right]\)
B.

\(T = \left[ { - 3;3} \right]\)
C.

\(T = \left[ {2;8} \right]\)
D.

\(T = \left[ {5;8} \right]\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \sqrt {1 - {\rm{sin}}2x} - \sqrt {1 + {\rm{sin}}2x} \) là

A.

\(D = \emptyset \)
B.

\(D = \mathbb{R}\)
C.

\(D = \left[ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\)
D.

\(D = \left[ {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{13\pi }}{6} + k2\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2 + \,3\,|\cos x\,|\);

b) \(y = 2\sqrt {\sin x} + 1\);

c)\(y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x\);

d) \(y = \sin x + \cos x\).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Từ đồ thị hàm số \(y = \sin x\), hãy xác định các giá trị của x trên đoạn\(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:

a) \(\sin x = 0\);

b) \(\sin x > 0\).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Một con lắc lò xo dạo động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình

ở đó \(y = 25\sin 4\pi t\), y được tính bằng centimet còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc.

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) \(y = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) và \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

b) \(y = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \sin x - \cos x\);

b) \(y = \sin x + \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\);

c) \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

d) \(y = \cos 2x + 2\cos x - 1\).

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Tìm tập xác định ${\text{D}}$ của hàm số $y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x - 1}}.$

A.

${\text{D}} = \mathbb{R}$
B.

\({\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C.

\({\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D.

${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 + \cos 2x} \) là:

A. \(\emptyset \)

B. \(\mathbb{R}\)

C. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)

D. \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Một vòng quay trò chơi có bán kinh 57 m, trục quay cách mặt đất 57,5 m, quay đều mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách \(h\) (m) từ một cabin gắn tại điểm \(A\) của vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức \(h\left( t \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57,5\); với \(t\) là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút \(\left( {t \ge 0} \right)\) (Xem hình vẽ)

a) Tính chu kì của hàm số \(h\left( t \right)\)

b) Khi \(t = 0\) (phút) thì khoảng cách của cabin đến mặt đất bằng bao nhiêu?

c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm \(t = 0\) (phút), tại thời điểm nào của \(t\) thì cabin ở vị trí cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao 86 m?

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm. Khoảng cách \(h\) (cm) từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức \(h = \left| y \right|\), trong đó \(y = a\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\), với \(t\) là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí \(A\) (Xem hình dưới)

a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?

b) Tìm giá trị của \(a\).

c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có \(h = 2,5\) cm và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức: \(p\left( t \right) = 120 + 15\cos 150\pi t,\) trong p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo đơn vị phút.

a) Chứng minh p(t) là một hàm số tuần hoàn.

b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/ huyết áp tâm trương.

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác \(y = \frac{{\sin x - 2\cos 3x}}{{\sin x + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}\)

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) và \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);

b) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành.

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = \sqrt {7 - 3{{\cos }^2}x} .$

A.

$M = \sqrt {10} ,{\text{ }}m = 2.$
B.

$M = \sqrt 7 ,{\text{ }}m = 2.$
C.

$M = \sqrt {10} ,{\text{ }}m = \sqrt 7 .$
D.

$M = 0,{\text{ }}m = 1.$

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Hàm số $y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.

3.
B.

4.
C.

5.
D.

6.

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = 1 - 2\left| {{\text{cos}}3x} \right|\).

A.

\(M = 3\,,\,m = - 1\).
B.

\(M = 0\,,\,m = - 2\).
C.

\(M = 1\,,\,m = - 1\).
D.

\(M = 2\,,\,m = - 2\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Với những giá trị nào của \(m\) thì phương trình \({\cos ^2}x - m = 2\) có nghiệm?

A.

\(m \in \left[ { - 2;1} \right].\)
B.

\(m \in \left[ { - 1;1} \right].\)
C.

\(m \in \left[ {0;1} \right].\)
D.

\(m \in \left[ { - 2; - 1} \right].\)

Xem lời giải >>

Bài 30 :

a) Cho biết \(\sin x = \frac{3}{4}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\sin ^2}2x.\)

b) Giải phương trình \(\sin 2x - \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0.\)

Xem lời giải >>