Cho tam giác \(ABC\), chứng minh rằng:
a) \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A{\rm{ }}{\rm{. }}\tan B{\rm{ }}{\rm{. }}\tan C\)
(với điều kiện tam giác \(ABC\) không vuông)
b) \(\tan \frac{A}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{A}{2} = 1\)
Sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác: \(A + B + C = \pi \).
Sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
Trong tam giác \(ABC\), ta có \(A + B + C = \pi \).
a) Do \(A + B + C = \pi \Rightarrow A + B = \pi - C \Rightarrow \tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right)\)
Vì \(\tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A\tan B}}\), \(\tan \left( {\pi - C} \right) = \tan \left( { - C} \right) = - \tan C\), nên:
\(\tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right) \Rightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A\tan B}} = - \tan C\)
\( \Rightarrow \tan A + \tan B = - \left( {1 - \tan A\tan B} \right)\tan C\)
\( \Rightarrow \tan A + \tan B = - \tan C + \tan A\tan B\tan C \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C\)
Bài toán được chứng minh.
b) Ta có:
\(A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2} \Rightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)\)Do \(\tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}}\) và \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\), nên:
\(\tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\)
\( \Rightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \Rightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\)
Bài toán được chứng minh.
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
Giải bài toán trong tình huống mở đầu:
Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần \({f_1}(t) = 5\sin t\) và phát lại được nốt thuần \({f_2}(t) = 5\cos t\) thì âm kết hợp là \(f(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t)\), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng \(f(t) = k\sin (t + \varphi )\), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu \(\varphi ( - \pi < \varphi < \pi )\) của sóng âm.
Chứng minh rằng:
a) \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\;\).
a) Cho \(a = \frac{\pi }{3}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
b) Bằng cách viết \(a + b = a - \left( { - b} \right)\) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính \(\cos \left( {a + b} \right).\)
c) Bằng cách viết \(\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\;\)và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính \(\sin \left( {a - b} \right)\).
Sử dụng \({15^0} = {45^0} - {30^0}\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \({15^0}\).
Tính:
a) \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\), biết \(\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);
b) \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\), biết \(\cos a = - \frac{1}{3}\) và \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\).
Chứng minh đẳng thức sau:
\(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\sin ^2}a - {\sin ^2}b = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)
B. \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\)
C. \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)
D. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right);\)
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\);
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Tính \(\tan {165^ \circ }\)
a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính \(\tan \left( {a + b} \right)\) theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa
b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính \(\tan \left( {a - b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a.
Tính \(\cos {15^ \circ }\)
a) Tính \(\cos \left( {a + b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]\) và sử dụng công thức cộng đối với sin
b) Tính \(\cos \left( {a - b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\cos \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a
Tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\)
a) Cho \(a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}\). Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).
b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).
Cho \(\cos a = \frac{3}{5}\) với \(0 < a < \frac{\pi }{2}\). Tính: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right),\,\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Tính
\(A = \sin \left( {a - 17^\circ } \right)\cos \left( {a + 13^\circ } \right) - \sin \left( {a + 13^\circ } \right)\cos \left( {a - 17^\circ } \right)\)
\(B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)\)
Tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\) và \(\tan \frac{\pi }{{12}}\)
Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) sau đây:
\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {ON} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right)\)\( = cos\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right) = cos\left( {\alpha - \beta } \right)\)
\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = {x_M}.{x_N} + {y_M}.{y_N}\)
Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.
Tính \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right),\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\) biết \(\sin \alpha = - \frac{5}{{13}},\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)
Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có \(\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\)
Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn \(\widehat {CAD} = {30^0}\). Tính \(\tan \widehat {BAD}\), từ đó tính độ dài cạnh CD.
Giá trị lượng giác \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\) bằng?
Rút gọn biểu thức \(M = \sin \left( {x - y} \right)\cos y + \cos \left( {x - y} \right)\sin y\) ta được
Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc \({105^0}\).
Chứng minh rằng
a) \(\cos a - \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Công thức nào sau đây đúng?
Cho hai góc \(a\) và \(b\) với \(\tan a = \frac{1}{7}\) và \(\tan b = \frac{3}{4}\). Khi đó \(\tan \left( {a + b} \right)\) bằng:
A. \(1\)
B. \( - \frac{{17}}{{31}}\)
C. \(\frac{{17}}{{31}}\)
D. \( - 1\)
Nếu \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) thì giá trị của \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:
A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}\)
B. \(\sqrt 6 - 3\)
C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3\)
D. \(\sqrt 6 - \frac{1}{2}\)
Cho \(\cos \left( {a + 2b} \right) = 2\cos a\). Chứng minh rằng \(\tan \left( {a + b} \right)\tan b = \frac{{ - 1}}{3}\).
