Đề bài

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và góc \(\widehat {A\,\,} = {60^0}\). Chân đường cao hạ từ $B'$  xuống $\left( {ABCD} \right)$  trùng với giao điểm 2 đường chéo, biết $BB' = a$ . Thể tích khối lăng trụ là:

• A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)
• B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)
• C. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)        
• D. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)

Phương pháp giải

- Tính diện tích đáy \({S_{ABCD}}\).

- Tính độ dài đường cao \(B'O\).

- Tính thể tích khối hộp theo công thức \(V = Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Xét tam giác $ABD$ có $AB = AD = a$ và \(\widehat {BAD} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a \Rightarrow BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{a}{2}\)

\( \Rightarrow B'O \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow B'O \bot BO \Rightarrow \Delta BB'O\) vuông tại $O$

$ \Rightarrow B'O = \sqrt {BB{'^2} - B{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

\({S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = B'O.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

Đáp án : C