Đề bài

Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của một tháng và kết quả được cho bởi Bảng 11.

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\).

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

+ Nhóm thứ \(p\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4}\) (tức là \(c{f_{p - 1}} < \frac{n}{4}\) nhưng \(c{f_p} \ge \frac{n}{4}\)). Ta gọi \(s,h,{n_p}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(p\), \(c{f_{p - 1}}\) là tần số tích luỹ của nhóm thứ \(p - 1\). Khi đó: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{\frac{n}{4} - c{f_{p - 1}}}}{{{n_p}}}} \right).h\).

+ Nhóm thứ \(q\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4}\) (tức là \(c{f_{q - 1}} < \frac{{3n}}{4}\) nhưng \(c{f_q} \ge \frac{{3n}}{4}\)). Ta gọi \(t,l,{n_q}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(q\), \(c{f_{q - 1}}\) là tần số tích luỹ của nhóm thứ \(q - 1\). Khi đó: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_{q - 1}}}}{{{n_q}}}} \right).l\).

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(R = 90 - 40 = 40\) (người).

b) Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\).

Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 55\), độ dài \(h = 5\), tần số của nhóm \({n_2} = 5\) và nhóm 1 có tần số tích luỹ \(c{f_1} = 4\).

Ta có: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{7,5 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 55 + \left( {\frac{{7,5 - 4}}{5}} \right).5 = 58,5\).

Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\).

Nhóm 4 có đầu mút trái \(t = 65\), độ dài \(l = 5\), tần số của nhóm \({n_4} = 8\) và nhóm 3 có tần số tích luỹ \(c{f_3} = 16\).

Ta có: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{22,5 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 65 + \left( {\frac{{22,5 - 16}}{8}} \right).5 = 69,0625\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 69,0625 - 58,5 \approx 11\) (người).

Mở rộng

1. Khoảng biến thiên

a) Định nghĩa

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

\(R = {u_{k + 1}} - {u_1}\)

b) Ý nghĩa

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.

- Khoảng biến thiên chưa phản ánh đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các  số liệu. Hơn nữa giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác.

2. Khoảng tứ phân vị

a) Định nghĩa

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là:

\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)

b) Ý nghĩa

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

- Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5\Delta Q\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5\Delta Q\).

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.