Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'} \)

b) \(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'} \)

c) \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'} \)

Phương pháp giải

Ý a: Đưa hai vectơ về một gốc, ta thấy hai vectơ vuông góc.

Ý b: : Đưa hai vectơ về một gốc, từ đó xác định góc giữa chúng từ áp dụng công thức tích vô hướng để giải.

Ý c: Đưa hai vectơ về một gốc, áp dụng kiến thức về định lý ba đường vuông góc trong quá trình tìm cạnh và góc, cuối cùng tính toán, áp dụng công thức để tìm tích vô hướng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có \(\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BD} \). Mặt khác \(BD \bot AC\)(do ABCD  là hình vuông) hay \(\overrightarrow {BD}  \bot \overrightarrow {AC} \),

suy ra \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

b) Ta có \(\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BC} \). Suy ra :

\(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = BD \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos \widehat {DBC} = {a^2}\sqrt 2  \cdot \cos {45^ \circ } = {a^2}\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right){\rm{       }}\left( 1 \right)\).

Ta sẽ tính cạnh \(AC'\) và xác định góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right)\).

Ta có \(CB \bot AB\) suy ra \(C'B \bot AB\), do đó tam giác \(ABC'\) vuông tại \(B\).

Xét tam giác \(ABC'\) có \(AC' = \sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Lại có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\) suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Thay \(AC' = a\sqrt 3 \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {a^2}\).