Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
a) Vì có \(OO' = OB - O'B\) nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B.
b) + Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC, DE cắt nhau tại H là trung điểm của mỗi đường nên ADCE là hình bình hành.
+ Hình bình hành ADCE có hai đường chéo vuông góc với nhau nên ADCE là hình thoi.
c) + Chứng minh \(CK \bot KB\), \(AD \bot DB\) nên CK//AD.
+ Mà AD//EC nên ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) + Chứng minh \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}\), \(\widehat {O'CK} = \widehat {O'KC}\), \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\).
+ Vì \(\widehat {KEH} + \widehat {HCE} = {90^o}\) nên \(\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = {90^o}\) hay \(\widehat {O'KH} = {90^o}\). Do đó, \(KO' \bot HK\). Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
(H.5.51)
a) Gọi R, r lần lượt là bán kính của hai đường tròn (O) và (O’). Ta có \(OO' = OB - O'B\) nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B.
b) Tam giác ODE cân tại O \(\left( {OD = OE = R} \right)\) có OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ODE hay \(OH \bot DE\).
Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC, DE cắt nhau tại H là trung điểm của mỗi đường nên ADCE là hình bình hành. Lại có \(AC \bot DE\) tại H nên ADCE là hình thoi.
c) Tam giác CKB có đường trung tuyến KO’ và \(KO' = \frac{1}{2}CB\) nên KCB là tam giác vuông tại K, suy ra \(\widehat {CKB} = {90^o}\) hay \(CK \bot KB\) (1).
Tương tự ta có \(\widehat {ADB} = {90^o}\) hay \(AD \bot DB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra CK//AD. Lại có AD//EC (vì ADCE là hình thoi). Do đó, ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là KH là đường trung tuyến nên \(KH = HE\). Do đó, tam giác KHE cân tại H, suy ra \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}\).
Lại có, \(\Delta O'CK\) cân tại O’ nên \(\widehat {O'CK} = \widehat {O'KC}\).
\(\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = \widehat {HEK} + \widehat {O'C}K\)
\(\widehat {KHO'} = \widehat {HCE} + \widehat {KEH}\)
Mặt khác \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (hai góc đối đỉnh)
Tam giác HEC vuông tại H nên \(\widehat {KEH} + \widehat {HCE} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = {90^o}\) hay \(\widehat {O'KH} = {90^o}\). Do đó, \(KO' \bot HK\). Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Các bài tập cùng chuyên đề
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^o}\)) có \(\widehat C = {30^o}\) và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).
