Đề bài

Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d; C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Phương pháp giải

a) Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó; đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

b) + Chứng minh O là trung điểm của AC và BD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

+ Chứng minh \(AC = BD\) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

c) + Chứng minh AB//CD, do đó d là trung trực của AB cũng là đường trung trực của CD.

+ Suy ra, C và D đối xứng với nhau qua d.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

(H.5.3)

a) Vì d là một trục đối xứng của đường tròn và B đối xứng với A qua d nên từ \(A \in \left( O \right)\) suy ra \(B \in \left( O \right)\).

Lại có O là tâm đối xứng của đường tròn và C, D lần lượt là điểm đối xứng với A, B qua O nên từ \(A,B \in \left( O \right)\) suy ra \(C,D \in \left( O \right)\).

Vậy ba điểm B, C và D có thuộc (O).

b) Vì C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC.

Vì D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD và O là trung điểm của AC, BD nên ABCD là hình bình hành. Lại có \(AC = BD\) (cùng bằng đường kính của (O)). Do đó, hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

c) Vì B đối xứng với A đến d nên d là đường trung trực của AB.

Hình chữ nhật ABCD có AB//CD nên d cũng là đường trung trực của CD. Do đó C và D đối xứng với nhau qua d.