Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);

c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);

d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).

Phương pháp giải

Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):

Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \)

\(= \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \({\rm{x}} =  - 4\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại $x=-4,{{y}_{CĐ}}=-4$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{CT}} = 2\).

b) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\  = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\end{array}\)

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

c) Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { - 4{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right).2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} + 4{\rm{x}} - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0\end{array}\)

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

d) Xét hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}^\prime }\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right){{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 2{\rm{x}}\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \({\rm{x}} =  - 7\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 7; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3;1} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại $x=1,{{y}_{CĐ}}=-8$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 7,{y_{CT}} = 8\).