Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC. Chứng minh:

a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’);

b) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài;

c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);

d) AH = DE;

e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(OB = OD = OH = \frac{{BH}}{2}\); \(O'H = O'E = O'C = \frac{{HC}}{2}\).

b) Chứng minh \(OO' = OH + O'H\).

c) Chứng minh \(AH \bot OO'\).

d) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật.

e) Bước 1: Chứng minh ODEO’ là hình thang vuông.

Bước 2: Biểu diễn diện tích 2 hình theo công thức.

Bước 3: Vận dụng dữ kiện \(AH = DE\), \(BC = BH + CH = 2\left( {OD + O'E} \right)\) để biến đổi.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Do tam giác BDH vuông tại D và O là trung điểm của BH (BO và HO là bán kính đường tròn (O)) nên \(OB = OD = OH = \frac{{BH}}{2}\), do đó D thuộc đường tròn (O).

Do tam giác ECH vuông tại E và O’ là trung điểm của CH (O’H và O’C là bán kính đường tròn (O)) nên \(O'H = O'E = O'C = \frac{{HC}}{2}\), do đó E thuộc đường tròn (O’).

b) Do tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, \(H \in BC\) nên H nằm giữa B và C.

Mà (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC nên H nằm giữa O và O’, do đó \(OO' = OH + O'H\), vậy đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài.

c) Ta có OH, O’H lần lượt là bán kính của (O) và (O’) , và AH vuông góc với OO’ tại H nên AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d) Do tam giác BDH vuông tại D nên \(\widehat {BDH} = 90^\circ \), do đó \(\widehat {HDA} = 90^\circ \).

Do tam giác ECH vuông tại E nên \(\widehat {ECH} = 90^\circ \), do đó \(\widehat {HEA} = 90^\circ \).

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat {HDA} = \widehat {HEA} = \widehat {DAE} = 90^\circ \) nên ADHE là hình chữ nhật, do đó \(AH = DE\).

e) Do ADHE là hình chữ nhật nên \(IA = ID = IH = IE\).

Xét hai tam giác OID và OIH có:

\(OD = OH\);

OI chung;

\(ID = IH\)

Suy ra \(\Delta OID = \Delta OIH\) (c.c.c), do đó \(\widehat {OHI} = \widehat {ODI} = 90^\circ \), hay \(OD \bot DE\).

Xét hai tam giác OIE và O’IH có:

\(O'E = O'H\);

O’I chung;

\(IE = IH\)

Suy ra \(\Delta OIE = \Delta O'IH\)(c.c.c), do đó \(\widehat {O'HI} = \widehat {O'EI} = 90^\circ \), hay \(O'E \bot DE\).

Xét ODEO’ có \(OD \bot DE\), \(O'E \bot DE\) nên \(OD//EO'\), do đó ODEO’ là hình thang vuông và DE là đường cao.

Diện tích hình thang ODEO’ và tam giác ABC lần lượt là: \({S_1} = \frac{{DE\left( {OD + O'E} \right)}}{2};{S_2} = \frac{{AH.BC}}{2}\)

Mà \(AH = DE\), \(BC = BH + CH = 2\left( {OD + O'E} \right)\)

Suy ra \({S_1} = \frac{1}{2}{S_2}\).

Vậy diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.